Lunes, 31 de agosto de 2009

Origen y desarrollo de las Tres Dimensiones

Las respuestas a los interrogantes sobre los orígenes de la representación gráfica en tres dimensiones las debemos buscar en la época de oro del conocimiento humano, el Renacimiento. El hombre renacentista, crítico y global en su conocimiento, se presenta como un artista rompedor en sus planteamientos gráficos, intentando insertar los temas fundamentales que las fuentes de la pintura le habían aportado hasta el momento, en un ámbito perspectivo anteriormente nunca visto, aportando profundidad y realismo a sus obras. Aquí se enmarca la figura del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, por citar sólo algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección, crean la necesidad de sentar las bases formales en la que cimentar las nuevas formas de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría de Desargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o por de la Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía hasta la llegada a principios del siglo XIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.

En pintura, las novedades del Renacimiento se introducirán de forma paulatina pero irreversible a partir del siglo XV. Un antecedente de las mismas fue Giotto (1267?-1337), pintor aún dentro de la órbita del Gótico, pero que desarrolló en sus pinturas conceptos como volumen tridimensional, perspectiva, naturalismo, que alejan su obra de los rígidos modos de la tradición bizantina y gótica y preludian el Renacimiento pictórico.

¿Qué es la geometría?

La geometría es la parte de las matemáticas que estudia las propiedades y las medidas de las figuras en el plano o en el espacio.

Se distinguen varias clases de geometría:

  • Geometría algorítmica: aplicación del álgebra a la geometría para resolver por medio del cálculo ciertos problemas.
  • Geometría analítica: estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los métodos del análisis matemático.
  • Geometría plana: parte de la geometría que considera las figuras cuyos puntos están todos en un plano.
  • Geometría del espacio: la que considera las figuras cuyos puntos no están todos en un mismo plano.
  • Geometría descriptiva: la que tiene por objeto resolver los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de los sólidos.
  • Geometría proyectiva: la que trata de las proyecciones de las figuras sobre un plano.

Formas geométricas

Clasificación de las formas geométricas más elementales: Formas geométricas planas:

  • Recta
  • Polígonos
  • Las secciones cónicas

Formas geométricas espaciales:

  • Superficies regladas:
    • Poliedros Regulares:
    • Piramide
    • Cuña
    • Prisma
    • Superficies de revolución:
      • Cilindro
      • Cono
      • Esfera
      • Elipsoide
      • Paraboloide
      • Hiperboloide
  • Superficies no regladas

Aplicaciones

Toda disciplina que requiera la representación de elementos en una superficie plana (papel) encontrará, en la Geometría Descriptiva, un gran aliado. Es por esto que la Geometría Descriptiva se encuentra en todos los planes de estudios de Ingeniería, Arquitectura, Diseño, Topografía, entre otras. Una parte de ella estudia la Proyección Acotada, en la cual se basan los planos topográficos y de obras públicas, los cuales son trazados e interpretados normalmente por topógrafos.

Como asignatura de estudio obligatorio en las escuelas de ingeniería y arquitectura del mundo entero, el estudio de la Geometría Descriptiva persigue el desarrollo intelectual del estudiante en dos campos distintos pero complementarios: la comprensión del espacio tridimensional que rodea al individuo y el desarrollo de una estructura de pensamiento lógica, lo cual permite al profesional sentar las bases de otras disciplinas, como la mecánica de cuerpos rígidos, deformables y fluidos, enfrentando, al mismo tiempo, los problemas específicos de su área según un enfoque heurístico, no memorístico, de la realidad objeto de estudio.

Pudiera afirmarse que la Geometría Descriptiva es al ejercicio profesional del diseñador lo que la gramática es al idioma (palabras de Harry Osers). Como medio de expresión, requiere de una claridad y rigurosidad excepcional. Bien dice el refrán: una imagen dice más que mil palabras. 

LA PERSPECTIVA

La perspectiva es el arte de dibujar volúmenes (objetos tridimensionales) en un plano (superficie bidimensional) para recrear la profundidad y la posición relativa de los objetos. En un dibujo, la perspectiva simula la profundidad y los efectos de reducción dimensional y distorsión angular, tal como los apreciamos a simple vista. Es en el Renacimiento cuando se gesta la perspectiva como disciplina matemática, para conseguir mayor realismo en la pintura.

Perspectiva del Campidoglio, en Roma. Miguel Ángel diseñó la composición de esta pequeña plaza: dispuso los edificios laterales confluyendo hacia el fondo para reforzar la sensación de profundidad.

Es, también, la ilusión visual que, percibida por el observador, ayuda a determinar la profundidad y situación de objetos a distintas distancias.

Por analogía, también se llama perspectiva al conjunto de circunstancias que rodean al observador, y que influyen en su percepción o en su juicio; de ahí que se diga: "ver las cosas con determinada perspectiva".

Geometría de la perspectiva

Desde un punto de vista geométrico, podemos simular el efecto visual de la perspectiva proyectando los objetos tridimensionales sobre un plano (bidimensional) en la denominada perspectiva cónica. Recibe este nombre por el hecho de que todas las líneas de proyección parten de un punto (a modo de un cono). Por este procedimiento se pueden obtener imágenes realistas. Sin embargo, no puede imitar la visión estereoscópica del ser humano.

Perspectiva cónica a mano alzada

Estas ayudas para realizar dibujos a mano alzada son de utilidad; pueden ser sencillas y mecánicas, pero también las hay más complejas.

  • Cómo medir a ojo con el lápiz

Un método sencillo para calcular y comparar proporciones, sobre todo distancias verticales y horizontales, consiste en usar un lápiz como regla. Seleccionamos el objeto que queremos usar como parámetro para nuestro dibujo y luego tomamos un lápiz con la punta para arriba, sin olvidarnos de sostener el brazo bien estirado. Alineamos la punta del lápiz con la parte superior del objeto y el dedo con la parte inferior.

Esta medición nos permitirá calcular proporcionalmente los otros objetos. Hemos de estar seguros de que el lápiz se encuentre en posición totalmente vertical a la hora de medir profundidades. Para calcular el grado de inclinación o para medir horizontalmente, el lápiz habrá de estar perpendicular a la línea de visión.

Para calcular un ángulo, empezaremos con el lápiz en posición horizontal, y luego lo giraremos hasta que se encuentre sobre la línea. Así se determinará el ángulo. Trabajar midiendo a ojo es una técnica muy útil. El diagrama muestra cómo funciona este sistema para emprender un bodegón de un cubo sobre una mesita.

  • Si somos diestros, tendremos que mirar por el lado izquierdo del tablero de dibujo, de modo que la mano que dibuja no interfiera con las líneas de mira, perturbando la visión. Con el tablero en posición vertical y con un ojo cerrado, moveremos la cabeza ligeramente hacia la izquierda y hacia la derecha, hasta lograr que el borde del tablero pueda utilizarse como plomada para determinar el tamaño de cada parte de los objetos y, luego, marcaremos estos puntos en el borde del tablero. Esto es particularmente útil para dibujar figuras, pero también puede utilizarse con buenos resultados para dibujar paisajes o, como en este caso, una naturaleza muerta. Es un método consagrado, como lo demuestran las marcas en el borde de muchos dibujos de grandes maestros, lo cual demuestra que dibujaban midiendo a ojo.
  • Percibimos los objetos en un plano perpendicular a nuestra línea de visión. Al mirar de frente, el plano será vertical, como si hubiera un cristal suspendido frente a nosotros. Sin embargo, cuando dibujamos, el tablero puede estar inclinado, sobre las rodillas o sobre un caballete, de manera que hemos de mirar hacia abajo y, no obstante, tendemos a visualizar un plano vertical delante de nuestros ojos. Para traducir esta imagen vertical a un tablero colocado en cierto ángulo, debemos ajustar mentalmente las proporciones, cosa ésta que, sin duda, resulta compleja. Corremos el riesgo de ajustar en exceso, haciendo demasiado grande la parte inferior de lo que estamos dibujando. Probablemente para un principiante resulte más sencillo utilizar el tablero vertical, mientras va adquiriendo más práctica y experiencia.
  • Existe una excepción natural al uso del tablero vertical, que es cuando se dibuja un tema horizontal (por ejemplo, una naturaleza muerta o un paisaje). En esos casos, es mucho más fácil mirar por encima de la parte superior.

Perspectivas  simplificadas

Otro sistema de representación gráfica es el de proyección paralela (similar a la proyección ortográfica). En este caso, las rectas proyectantes no convergen en un punto, sino que son paralelas, por lo que este sistema suele recibir también el nombre de proyección paralela. Este sistema no refleja fielmente la profundidad del espacio ni la distorsión de los ángulos, sin embargo, conociendo la escala de los ejes ortogonales, permite obtener la verdadera magnitud de los objetos dibujados.

Perspectiva axonométrica

Se pueden dibujar los ejes XYZ desde varias perspectivas, lo que produce un efecto visual particular en cada caso:

1. Perspectiva isométrica: es una forma de proyección gráfica o, más específicamente, una axonométrica cilíndrica ortogonal. Constituye una representación de un objeto tridimensional en dos dimensiones, en la que los tres ejes de referencia tienen ángulos de 120º, y las dimensiones guardan la misma escala sobre cada uno de ellos. La isometría es una de las formas de proyección utilizadas en dibujo técnico que tiene la ventaja de permitir la representación a escala, y la desventaja de no reflejar la disminución aparente de tamaño -proporcional a la distancia- que percibe el ojo humano.

2. Perspectiva caballera: es un sistema de proyección paralela oblicua en el que, por convenio, el plano proyectante es horizontal y las secciones horizontales de los cuerpos representados se proyectan en verdadera magnitud.

3. Perspectiva militar, es un caso particular de la perspectiva caballera.

4. DIN 5: La perspectiva DIN-5 se corresponde a la UNE 1-031-75 B.

'La perspectiva' DIN-5 es la norma que recomienda una perspectiva axonométrica ortogonal dimétrica especifica, que se caracteriza por formar 131º 25' entre los ejes XY y ZY, y 97º 10' entre XZ. Los coeficientes de reducción sobre los ejes X y Z son 2·(raíz cuadrada de 2)/3 = 0'943, y en el eje Y es (raíz cuadrada de 2)/3 = 0'471, siendo la relación entre ellos cx = cz = 2·cy; o bien, ux : uy : uz = 1 : 1/2 : 1.

Debido a que los ángulos son tan fáciles de medir con un transportador, se suelen dibujar trazando primero el eje Z en vertical y, sobre él, una medida aleatoria (la unidad), a partir de lo cual se traza un triángulo de lados la unidad y una vez y media la unidad.

El lado del triángulo formado con la unidad es el eje Y, mientras que el eje X es perpendicular al lado formado por una vez y media la unidad. A partir de su extremo.

Cómo dibujar los ejes XYZ para DIN 5, paso a paso

1. Medimos una distancia D sobre el eje Z, y denominamos a los extremos A y B.

2. Con un compás, trazamos un arco de radio D desde A.

3. Con un compás, trazamos un arco de radio D*1.5 desde B.

4. En la intersección de los dos arcos, marcamos el punto C.

5. El eje Y se obtiene de unir el punto A con el punto C.

6. Trazamos un arco de radio D desde C.

7. Trazamos un arco de radio D desde B.

8. Unimos la intersección de estos dos arcos con A y obtenemos el eje X.

EL DESARROLLO DE LAS 3 DIMENSIONES

Como figura indiscutible en la aportación al estudio y desarrollo de los sistemas gráficos tridimensionales fue Gaspar Monge.

Gaspard Monge (10 de mayo - 1746 - 28 de julio - 1818), matemático francés. Nació en Beaune hijo de un vendedor ambulante, estudió en las escuelas de Beaune y Lyon, y en la escuela militar de Mézières. A los 16 años fue nombrado profesor de física en Lyon, cargo que ejerció hasta 1765. Tres años más tarde fue profesor de matemáticas y en 1771 profesor de física en Mézières. Entra en la Academia Real de Ciencias en 1780 y publica, ocho años más tarde, su Traite de statistique. Nombrado Ministro de Marina (Agosto 1792 - Abril 1793) por la Convención; se le pide reorganizar los arsenales y a interesarse por las fábricas de cañones. Contribuyó a fundar la Escuela Politécnica en 1794, en la que dio clases de Geometría Descriptiva durante más de diez años. Entra en el instituto de Francia (1795). Durante la campaña de Italia conoce a Bonaparte, mientras busca obras de arte, quien le encarga junto con Claude Louis Berthollet, que lleve al Directorio la ratificación del Tratado de Campo Formio.

Por orden de Napoleón se apropia de tres imprentas en el Vaticano que les ayudaran en su nueva expedición. Es invitado a participa en la expedición a Egipto, pero alega que ya esta muy avanzado de edad para participar en esta empresa, Napoleon lo logra persuadir y cambia de opinión. Se convierte en uno de los confidentes del joven general en Egipto y será el primer presidente del Instituto de Egipto, fundado en agosto de 1789, prepara un trabajo sobre los espejismos durante su estadía en el oriente.

Regresa a Francia con Napoleón el 23 de agosto de 1799, año en que publica su famosa obra Geometrie descriptive. Es nombrado miembro del Senado, director de la Escuela Politécnica (1802) y conde de Pelusio. La caída de Napoleón hace que le excluyan del Instituto y de la escuela Politécnica. Muere en París el 28 de julio de 1818 y sería enterrado en el cementerio del Père-Lachaise.

LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Monge es considerado el inventor de la geometría descriptiva. La geometría descriptiva es la que nos permite representar superficies tridimensionales de objetos sobre una superficie bidimensional. Hoy en día existen diferentes sistemas de representación que sirven a este fin, como la perspectiva cónica, el sistema de planos acotados, etc. pero quizás el más importante es el Sistema diédrico, que fue desarrollado por Monge en su primera publicación en el año 1799.

Centrémonos en la Geometría Descriptiva. La geometría descriptiva es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional y, por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a través de la adecuada lectura.

En la época actual se reconocen dos modelos: uno que considera la geometría descriptiva como un lenguaje de representación y sus aplicaciones, y otro que la sitúa como un tratado de geometría. Aunque no es exactamente lo mismo, su desarrollo ha estado asociado al de la Geometría proyectiva.

Breve reseña histórica de la Geometría Descriptiva

La geometría descriptiva, que posee el carácter de ciencia aplicada, ha tenido un largo proceso de desarrollo desde las incipientes representaciones trazadas en la edad de piedra. Los Elementos de Euclides, los estudios de Descartes en geometría analítica y la crucial aportación de Gaspard Monge a finales del siglo XVIII, quien la formula y la eleva a la condición de ciencia autónoma.

Desde la antigüedad, el hombre ha sentido siempre la necesidad de representar gráficamente el entorno que le rodea, como lo demuestran los dibujos encontrados en las cuevas prehistóricas, pero no es hasta el renacimiento cuando se intenta representar la profundidad.

Las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos métodos que les permitan representar fielmente la realidad. Aquí se enmarcan figuras como Luca Paccioli, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Leone Battista Alberti, Piero della Francesca y muchos otros.

Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente la nueva forma de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales aparecen de la mano de Gérard Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría también fue estudiada por Blaise Pascal o por de la Hire, pero debido al gran interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión.

El posterior desarrollo de la técnica hizo necesario aplicar las teorías matemáticas a la práctica, proceso que culminó en 1795 con la publicación de la obra de Gaspard Monge «Geometría descriptiva».

LA GEOMETRÍA PROYECTIVA

Se llama geometría proyectiva a una estructura matemática que estudia las incidencias de puntos y rectas sin tener en cuenta la medida. A menudo se usa esta palabra también para hablar de la teoría de la proyección que en realidad se llama geometría descriptiva.

Breve reseña histórica

Gérard Desargues es el iniciador de la geometría proyectiva, pues fundamentó matemáticamente los métodos de la perspectiva que habían desarrollado los artistas del Renacimiento, y aunque su trabajo fue publicado en 1639, pasó desapercibido durante dos siglos (excepto dos teoremas), ensombrecido por la influyente obra de Descartes.

En el siglo XIX, la geometría proyectiva y la geometría hiperbólica, se establecieron dentro de las matemáticas, pero lo que acabó de enraizarlas, posiblemente, fue hallar un modelo analítico. Dentro del contexto de la geometría euclidiana-cartesiana se puede construir la geometría proyectiva, y si se acepta la primera, hay que admitir la segunda.

Este proceso finalizó definitivamente a principios del siglo XX, pues Einstein, apoyándose en los exhaustivos desarrollos geométricos de los matemáticos del siglo XIX, consiguió demostrar que, a gran escala, el universo se puede interpretar mejor con estas nuevas geometrías que con el rígido espacio euclidiano.

Punto de vista sintético

Desde el punto de vista sintético, la geometría proyectiva es una geometría que parte de los siguientes principios:

  • Dos puntos definen una recta.
  • Todo par de rectas se cortan en un punto (cuando dos rectas son paralelas decimos que se cortan en un punto del infinito conocido como punto impropio).

El quinto postulado de Euclides, de las paralelas, está implícito en estos dos principios ya que, dada una recta y un punto exterior, existirá una única paralela (el punto dado y el del infinito definen la paralela por el primer axioma. Nótese que en la geometría proyectiva, dos rectas paralelas por definición comparten un punto y esto no excluye que sean isomorfas con las paralelas euclídeas).

Como los axiomas de los que se parte son simétricos, si en cualquier teorema proyectivo se intercambian las palabras recta y punto se obtiene otro teorema igualmente válido. A estos teoremas se les llama duales.

El principio antes expuesto se conoce como Principio de Dualidad y fue enunciado por Poncelet en el siglo XIX. Muchos teoremas anteriores, como los de Pascal y Brianchon, son duales, aunque ningún matemático lo había notado hasta entonces.

Los teoremas de Pascal y Brianchon, aunque completamente válidos, se demostraron inicialmente en geometría euclidiana, basándose en los teoremas de Pappus y Menelao, que utilizan una métrica y por tanto no son válidos en geometrías de incidencia, como la proyectiva.

En principio se intentó buscar demostraciones alternativas de estos teoremas sin usar congruencia de segmentos. Hilbert demostró en 1899 que tal cosa es imposible y desde entonces suele incluirse el teorema del hexágono de Pappus como un axioma de la geometría proyectiva. Ello permite demostrar en proyectiva todo lo demostrable en euclídea sin tener que recurrir a una métrica.

Por no usar métricas en sus enunciados, se dice que la geometría proyectiva es una Geometría de incidencia.

Finalmente, hay que destacar que desde el punto de vista sintético, un espacio proyectivo consiste en un espacio afín al que hemos añadido un conjunto de puntos infinitos, de modo que cada par de rectas paralelas se cortan en uno de estos puntos.

Hemos querido abarcar tanto reseñas históricas y fundamentos básicos como aspectos más abstractos de las tres dimensiones. Deseando que sea la chispa que inflame la curiosidad de quienes desean incidir más profundamente en el tema del desarrollo histórico de las tres dimensiones esperamos que este artículo les haya sido de utilidad.

 

Coutoyoyo

FUENTES: www.wikipedia.es

 

 

 

 

 

 

 

 


Publicado por Nestor1975 @ 20:46  | Areas de aplicaci?n
Comentarios (1)  | Enviar
Comentarios

mis felicitaciones al creador de esta informacion tan importante para uno de los mejores liceos.

Publicado por Invitado
Jueves, 12 de mayo de 2011 | 1:04